



Ciąg Fibonacciego czyli jeszcze o złotej proporcji
Autor
Dariusz Kulma![]() |
WstępHistoria matematyki bywa nieprzewidywalna. Wieki obserwacji i odkryć dotyczących złotej liczby zdawałoby się wyczerpały temat. A jednak nie! A wszystko za sprawą Leonardo Pisano Fibonacciego, który żył w latach ok. 1175 - 1250 n.e. Co ciekawe, nazwisko jest tak naprawdę przydomkiem ,ponieważ Fibonacci znaczy po prosty "syn Bonacciego". Warto dodać, że Fibonacci był gorącym zwolennikiem wprowadzenia arabskiego zapisu liczbowego. |
Fibonacci |
Wpływ królików na odkrycia matematyczneFibonacci w 1202 roku wydał książkę Liber Abaci (Księga Abaku). Ironiczny tytuł, ponieważ w książce Fibonacci wykazuje korzyści stosowania arabskiego zapisu liczbowego nad metodami opartymi na systemie abaku i cyfrach rzymskich. W książce poruszone są tematy podzielności, teorii liczb, symbolika matematyczna, ale również zasady księgowania, reguły zysków i strat czy wymiany pieniędzy. Jednak najsłynniejszym zadaniem stało się zadanie o królikach. Oto ono: Ile par królików będziemy mieli na końcu roku, jeśli zaczniemy w styczniu z jedną parą królików, ta w każdym następnym miesiącu, poczynając od marca, wyda na świat kolejną parę królików i z każdej pary urodzą się kolejne pary po dwóch miesiącach od narodzin? Jako przesiębiorca i finansista, zamieścił swoje obliczenia w tabeli. Okazało się, że łączna liczba królików w poszczególnych miesiącach tworzyła zadziwiający ciąg liczb. Kolejne liczby były sumą dwóch poprzednich! Zobacz poniższą tabelę z danymi. |
![]() |
Liczby 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...można tworzyć w nieskończoność. Taki ciąg nazywamy ciągiem rekurencyjnym, gdzie każdy kolejny wyraz zależny jest od poprzednich. Ale gdzie jest tu związek ze złotą liczbą? |
Nieskończenie złoty ciągOkazuje się, że związek ciągu Fibonacciego ze złotą liczbą jest wręcz niebywały. Dzieląc kolejne wyrazy tego ciągu przez wyraz poprzedni otrzymujemy liczby coraz bliższe liczbie zlotej |
![]() |
Wzór ciągu FibonacciegoCiąg określony jest rekurencyjnie. Są dwa poglądy na to czy ciąg powinien zaczynać się od 0 czy od 1. Biorąc jednak fakt, że ciągi opieramy o liczby naturalne n>0, częściej obserwujemy ciągi zaczynające się od liczby 1. Wzór rekurencyjny może również zawierać wyraz zerowy. Oto wzór: |
![]() |
Ciąg Fibonacciego w przyrodzieOkazuje się, że zależność można odnaleźć w przyrodzie. Chociażby ilość kolejnych pędów czy gałęzi drzew albo płatków liścia tworzy ciąg Fibonacciego. |
![]() |
Złoty prostokąt a spirala FibonacciegoBardzo ciekawą zależnością jest spirala Fibonacciego, która ma bezpośredni związek ze złotym postokątem, czyli takim, którego stosunek długości do szerokości jest w złotym podziale. Przypomnijmy konstrukcję złotego prostokąta. |
Jak już mamy złoty prostokąt, to okazuje się, że gdy zaczniemy rysować łuki o długości promienia, który jest kolejnym wyrazem ciągu Fibonacciego, to otrzymamy spiralę. Obejrzyj animację posługując się planszą interaktywną. |
Spirala Fibonacciego |
A oto bezpośrednie odniesienie spirali do przyrody. Większość spiralnych muszli opiera się na ciągu Fibonacciego. |
![]() |