Home Strefa Ucznia Strefa Nauczyciela Strefa Otwarta Sklep Matematyczny



Materiały » Lekcje




Obliczanie wyznaczników

Autor

Dariusz Kulma

Wyznacznik macierzy

Wstęp

Matematycy od wielu wieków starali się znaleźć sposób na znalezienie uniwersalnego sposobu na rozwiązanie układu równań liniowych z n niewiadomymi. W XVIII wieku Gabriel Cramer - szwajcarski matematyk i fizyk - wyprowadził wzory na obliczanie wyznaczników, które dziś potocznie nazywamy wzorami Cramera. W XIX wieku jego odkrycia rozwijali tak znani matematycy jak Laplace, Jacobi i Cauchy.

Warunek obliczenia wyznacznika

Wyznaczniki możemy obliczać tylko z macierzy kwadratowych czyli wtedy, gdy liczba wierszy jest równa liczbie kolumn.

Definicja

Wyznacznikiem nazywamy takie odzworowanie macierzy kwadratowej, które danej macierzy A=[a_{ij}] przyporządkowuje dokładnie jedną liczbę rzeczywistą oznaczoną jako detA.

Jeśli macierz jest stopnia n = 1, to jej wyznacznik  detA= a_{11}

Jeśli stopień macierzy n> 1, to jej wyznacznik obliczamy według następującego wzoru:

detA=\sum_{i=1}^{n}(-1)^{i+j}a_{ij}detM_{ij}

gdzie detM_{ij} oznacza wyznacznik macierzy powstałej z macierzy A przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny.

Obliczanie wyznacznika 2x2

Wyznacznik macierzy dwuwymiarowej obliczamy w sposób:

\det A=\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}

np.

\det A=\begin{vmatrix}2&3 \\4&-5\end{vmatrix}=2\cdot (-5)-3\cdot 4=-10-12=-22

Zadanie 1

Oblicz wyznacznik:

\det A=\begin{vmatrix}6&-2 \\7&-1\end{vmatrix}

Obliczanie wyznacznika 3x3

Jest wiele metod obliczania wyznacznika 3x3. Plansza interaktywna przedstawia jeden ze sposobów oraz zawiera edytor do obliczania wyznaczników macierzy o wymiarach 3x3.

Obliczanie wyznacznika 3x3

Obliczanie wyznacznika 3x3.

Dariusz Kulma - Matematyka innego wymiaru, Utworzony z GeoGebra

Zadanie 2

Oblicz i sprawdź za pomocą edytora wyznacznik:

detA=\left|\begin{array}{ccc}1&4&-2\\5&0&1\\-2&4&3\end{array}\right|

Obliczanie wyznacznika 4x4 i wyższego stopnia


Do obliczenia wyznacznika 4x4 lub wyższego stopnia używamy tzw. Rozwinięcia Laplace'a.

Rozwinięcie Laplacea

Zadanie 3

Oblicz wyznacznik macierzy:

|A|=\begin{vmatrix} 1&0&-1&2\\0&3&1&5\\0&0&5&0\\1&-1&0&2\end{vmatrix}

 

Wynik sprawdź w poniższym edytorze do obliczania wyznacznika 4x4

Obliczanie wyznacznika 4x4








Adres
Mińsk Mazowiecki Pl. Kilińskiego 7
Kontakt
T. +48 51-81118-51
matematykainnegowymiaru@elitmat.pl
GG: 10158257