Matematyka Innego Wymiaru

Materiały » Lekcje

Przebieg zmienności funkcji - monotoniczność, ekstrema, punkty przegięcia

Autor

Dariusz Kulma

Wstęp

Badanie przebiegu zmienności funkcji, a w szczególności określenie monotoniczności i znajdowanie wartości ekstremalnych oraz punktów przegięcia to obszar matematyki, w którym szczególne zastosowanie ma rachunek pochodnych. Spróbujmy na przykładzie omówić te pojęcia.

Przykład

Zbadaj przebieg zmienności funkcji f(x)=x^3-6x^2+9x-2 określając monotoniczność, ekstrema i punkty przegięcia. Sporządź wykres tej funkcji.

1. Obliczamy pierwszą pochodną funkcji

f'(x)=3x^2-12x+9

2. Przyrównujemy pierwszą pochodną do zera.

$f'(x)=0\:<=>\:$ $3x^2-12x+9=0\:\:|:3$

x^2-4x+3=0

czyli:

$x_1=1\:\:i\:\:x_2=3$

3. Rysujemy szkic pochodnej

Po narysowaniu szkicu pochodnej, która w tym przypadku jest parabolą, określamy, gdzie pochodna jest dodatnia, a gdzie ujemna.

4. Własności wynikające z pierwszej pochodnej

Zgodnie z twierdzeniem - jeśli pochodna ma miejsca zerowe, to znaczy, że funkcja może mieć wartosci ekstremalne dla tych właśnie miejsc zerowych. W tym przypadku funkcja może mieć dwa ekstrema lokalne dla x=1 i dla x=3.

Jeśli pochodna ma wartość dodatnią w określonym przedziale, to znaczy, że funkcja jest w tym przedziale rosnąca, a jeśli ma wartość ujemną w określonym przedziale, to funkcja w tym przedziale jest malejąca.

Oznaczmy strzałkami monotoniczność funkcji.

Jeśli funkcja jest przed miejscem zerowym rosnąca, a potem malejąca to znaczy, że w miejscu zerowym pochodnej znajduje sie MAKSIMUM czyli:

$f_{max}(1)=2\blue$

Jeśli funkcja jest przed miejscem zerowym malejąca, a potem rosnąca, to znaczy, że w miejscu zerowym pochodnej znajduje się MINIMUM czyli:

$f_{min}(3)=-2\blue$

5. Obliczamy drugą pochodną

Drugą pochodną otrzymamy, jeśli obliczymy pochodną z pierwszej pochodnej

f(x)''=(3x^2-12x+9)'=6x-12

6. Przyrównujemy drugą pochodną do zera

$f''(x)=0\:<=>\:$ 6x-12=0

czyli:

x=2

7. Rysujemy szkic drugiej pochodnej

Po narysowaniu szkicu drugiej pochodnej, która w tym przypadku jest funkcją liniową, określamy, gdzie pochodna jest dodatnia, a gdzie ujemna.

9. Własności wynikające z drugiej pochodnej

Zgodnie z twierdzeniem - jeśli druga pochodna ma miejsca zerowe, to znaczy, że funkcja może mieć punkty przegięcia dla tych właśnie miejsc zerowych. W tym przypadku dla x=2 funkcja może mieć punkt przegięcia czyli:

$f_{pp}(2)=0\blue$

Jeśli druga pochodna ma wartość dodatnią w określonym przedziale, to znaczy, że funkcja jest w tym przedziale wypukła, a jeśli ma wartość ujemną w określonym przedziale, to funkcja w tym przedziale jest wklęsła.

10. Zebranie informacji o funkcji w tabeli

Uzupełniamy tabelę na podstawie szkiców pierwszej i drugiej pochodnej. Strzałka skierowana w górę oznacza funkcję rosnącą, strzałka w dół - funkcję malejącą. Wygięcie strzałki w odpowiednią stronę opisuje czy funkcja jest wklęsła czy wypukła.

11. Wykonanie rysunku funkcji

Najpierw liczymy przecięcie z osią OY.

f(0)=-2

Zaznaczamy ten punkt oraz punkty ekstremalne (1,2), (3,-2) oraz punkt przegięcia (2,0). Linie funkcji prowadzimy zgodnie z kierunkiem i kształtem strzałek znajdujących się w tabeli.

Użytkownicy on-line: 25