Home Strefa Ucznia Strefa Nauczyciela Strefa Otwarta Sklep Matematyczny



Materiały » Lekcje




Dwumian Newtona a trójkąt Pascala

Autor

Dariusz Kulma

Dwumian Newtona

Nieraz spotykamy się z wzorami typu (x+y)^n. Oczywiście jest wzór, który pozwala rozpisywać takie wyrażenia i nazywamy go Dwumianem Newtona. Oto on:

(x + y)^n = \binom{n}{0}x^n + \binom{n}{1} x^{n-1}y + \binom{n}{2} x^{n-2}y^2 + \binom{n}{3}x^{n-3}y^3 + _{\dots} + \binom{n}{n}y^n\blue

Przy każdym współczynniku mamy postać symbolu Newtona, który przyjmuje wzór:

{n \choose k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\blue

Jednak stosowanie tego wzoru w praktyce, szczególnie przy rozbudowanych wyrażeniach nie jest wygodne. W dodatku nie każdy jeszcze w klasach młodszych spotkał się z symbolem silni n!.

Trójkąt Pascala

Okazuje się, że współczynniki symbolu Newtona tworzą specyficzny trójkąt. Zaobserwuj, zmieniając wykładniki kolejnych potęg wyrażenia (x+y)^n, jakie liczby odpowiadają kolejnym współczynnikom we wzorze dwumianu. Zmieniaj również znaki + i - oraz obserwuj sumę wykładników w poszczególnych wyrażeniach rozłożonego wyrażenia.

Dwumian Newtona a trójkąt Pascala

Dwumian Newtona, a trójkąt Pascala.

Dariusz Kulma - Matematyka innego wymiaru, Utworzony z GeoGebra

Co można zaobserować

Kolejne wiersze powstają poprzez dopisywanie kolejnych 1 na bokach trójkąta, a poszczególne wyrazy wewnątrz trójkąta powstają przez dodawanie dwóch wyrazów z poprzedneigo wiersza znajdującęgo się nad wyrazem, który należy zapisać np. liczba 4 powstała z zsumowania liczby 1 i 3, które się nad tą liczbą znajdują. 

Zawsze suma wykładników w kolejnych wyrażeniach jest równa n.

Kolejne wykładniki przy liczbie x maleją o 1 zaczynając od n, a kolejne wykładniki przy y rosną o 1 zaczynając od 0.

Jeśli pomiędzy x i y znajduje się "+", to wszystkie wyrażenia są dodatnie, a jeśli "-", to znaki piszemy przemiennie zaczynając od "+".

Zadanie

Posługując się zdobytą wiedzą rozpisz wyrażenie (x-y)^7, a potem sprawdź za pomocą poniższej planszy czy dobrze zrobiłeś.









Adres
Mińsk Mazowiecki Pl. Kilińskiego 7
Kontakt
T. +48 51-81118-51
matematykainnegowymiaru@elitmat.pl
GG: 10158257