Home Strefa Ucznia Strefa Nauczyciela Strefa Otwarta Sklep Matematyczny



Materiały » Lekcje




Równanie zegara


Zegar z czasem rzeczywistym

Zegar z czasem rzeczywistym.

Dariusz Kulma - Matematyka innego wymiaru, Utworzony z GeoGebra

Wstęp

Lekcja będzie dotyczyła równania zegara, co brzmi zapewne dość zagadkowo. Pod tą tajemniczą nazwą kryje się obliczenie jaki kąt tworzą wskazówki (godzinowa i minutowa) o określonej godzinie.

Można by było spróbować to zrobić przy pomocy kątomierza, ale obawiam się, że nie byłoby to wcale łatwe, a poza tym wyniki nie były dokładne.

Wymyślono więc pewien wzór, za pomocą którego znając godzinę będziemy mogli obliczyć jaki dokładnie kąt jest pomiędzy wskazówkami.

Spójrz na planszę poniżej i zobacz, w jaki sposób powstał ten bardzo pomocny wzór.

 

Równanie zegara

Ze wzoru wynikają następujące zależności:

Kąt jest:

  • dodatni, gdy duża wskazówka wyprzedza małą
  • ujemny, gdy mała wskazówka wyprzedza dużą
  • zerowy, gdy wskazówki pokrywają się

Rozwiązywanie zadań

Wykorzystajmy więc poznany wzór w praktyce i obliczmy, jaki kąt utworzą wskazówki o godzinie 11:45.

Jeżeli nasza godzina to 11:45, oznacza to, że m = 45, g = 11

Podstawiając te wielkości do wzoru i po wykonaniu obliczeń otrzymujemy:

  \alpha=\frac{11^o}{2}\cdot45-30^o\cdot11=247,5^o-330^o=-82,5^o

Z tego wynika, że kąt pomiędzy wskazówkami wynosi 82,5^o i mała wskazówka (czyli godzinowa) wyprzedza dużą wskazówkę (minutową).

Żeby sprawdzić czy wykonaliśmy poprawne obliczenia skorzystamy z planszy, w której należy na zegarze ustawić poprawną godzinę i zaznaczyć pole wyboru "pokaż kąt między wskazówkami".

Zegar

Zegar.

Dariusz Kulma - Matematyka innego wymiaru, Utworzony z GeoGebra

Teraz samodzielnie rozwiąż jeszcze kilka przykładów obliczając jaki kąt między wskazówkami będzie o godzinie:

8:08, 10:20, 4:14

Możesz również wymyślać swoje własne przykłady, ustawiając godziny na zegarze. Pamiętaj jednak, by najpierw samodzielnie spróbować rozwiązać zadanie, a następnie sprawdzić swój wynik

Kiedy wskazówki zegara będą w linii prostej ?

Żeby wskazówki zegara były w linii prostej, kąt między nimi musi być równy 180o, co zapiszemy równaniem:

\frac{11^o}{2}\cdot{m}-30^o\cdot{g}=180^o

Przekształcamy równanie, by wyliczyć "m":

\frac{11}{2}\cdot{m}=180+30\cdot{g}

11\cdot{m}=2(180+30\cdot{g})

m=\frac{2(180+30\cdot{g})}{11}

Ostatecznie: m=\frac{60(6+g)}{11}

 

Gdy mamy już taką postać równania, możemy za "g" podstawiać różne liczby oznaczające godziny i obliczymy w ten sposób, ile dokładnie powinno być wtedy minut, żeby wskazówki były w linii prostej.

Np.

Gdyg=0, to m=\frac{360}{11}=32\frac{8}{11}, więc otrzymujemy godzinę 0:32\frac{8}{11}, co oznacza, że wskazówki będą w linii prostej, gdy miną 32 pełne minuty i jeszcze \frac{8}{11} kolejnej minuty po północy lub po 12:00.

Sprawdźmy inne wybrane przykłady:

Gdyg=5, to m=60, więc otrzymujemy godzinę 6:00, co oznacza, że wskazówki będą w linii prostej dokładnie o tej godzinie.

Gdyg=8, to m=\frac{840}{11}=76\frac{4}{11}, więc otrzymujemy godzinę 9:16\frac{4}{11}, ponieważ 76\frac{4}{11} dają nam jedną pełną godzinę oraz 16\frac{4}{11} minuty.

Gdyg=11, to m=\frac{1020}{11}=92\frac{8}{11}, więc otrzymujemy godzinę 12:32\frac{8}{11}, ponieważ 92\frac{8}{11} dają nam jedną pełną godzinę oraz 32\frac{8}{11} minuty.

Jeśli przeprowadzilibyśmy nasze obliczenia dla wszystkich godzin, to okazałoby się, że wskazówki tworzą linię prostą bez ułamków w minutach tylko o godzinie 6:00.

Możesz to sprawdzić korzystając z planszy z zegarem, jak w poprzednich zadaniach.

A teraz zastanówmy się kiedy wskazówki zegara się pokryją ?

Żeby wskazówki zegara się pokryły, kąt między nimi musi być równy 0o, co znów zapiszemy równaniem:

\frac{11^o}{2}\cdot{m}-30^o\cdot{g}=0^o

Przekształcamy równanie jak poprzednio, by wyliczyć "m":

\frac{11}{2}\cdot{m}=30\cdot{g}

11\cdot{m}=60\cdot{g})

Ostatecznie: m=\frac{60\cdot{g}}{11}

 

Gdy mamy już taką postać równania, rozpatrzmy różne przypadki dla dowolnych wartości "g".

Np.

Gdyg=0, to m=0, więc otrzymujemy godzinę 0:00, co oznacza, że wskazówki pokryją się dokładnie o tej godzinie.

Gdyg=1, to m=\frac{60}{11}=5\frac{5}{11}, więc otrzymujemy godzinę 1:05\frac{5}{11}, co oznacza, że wskazówki pokryją się, gdy minie pięć pełnych minut jeszcze \frac{5}{11} minuty po godzinie 1:00.

Gdyg=11, to m=60, więc otrzymujemy godzinę 12:00.

Jeśli przeprowadzilibyśmy nasze obliczenia dla wszystkich godzin, to okazałoby się, że wskazówki tworzą linię prostą bez ułamków w minutach tylko o godzinie 0:00 oraz 12:00, które wiemy, że na zegarze są przedstawione przez taki sam układ wskazówek.

W tym przypadku również możesz to sprawdzić korzystając z planszy z zegarem, jak w poprzednich zadaniach.

Na koniec rozwiążmy jeszcze kilka zadań z portalu. Już teraz nie powinieneś/powinnaś mieć żadnych problemów. Powodzenia!

Zadanie 98 - W matwieży jedne drzwi mają niesamowitą ...
Zadanie 362 - Król Pierwiastkus Wielki chciał zaprosić ...
Zadanie 905 - Główne wiadomości informacyjne telewizji ...
Zadanie 66 - Na ratuszowej wieży Deltoigrodu zawsze, ...








Adres
Mińsk Mazowiecki Pl. Kilińskiego 7
Kontakt
T. +48 51-81118-51
matematykainnegowymiaru@elitmat.pl
GG: 10158257