Matematyka Innego Wymiaru

Materiały » Lekcje

Po co nam całki?

Autor

Dariusz Kulma

Całka, co to takiego?

Nie jest łatwo w kilku słowach zdefiniować całkę. Najprościej można powiedzieć, że jest to pojęcie odwrotne do liczenia pochodnych, Mówimy czasami o całce, że jest to funkcja pierwotna czyli, że jeśli najpierw z jakiejś funkcji policzymy pochodną, a potem obliczymy całkę, to powinniśmy uzyskać dokładnie to samo wyrażenie.

Sprawdźmy.

Weźmy wyrażenie $f(x)=3x^2+4x-7\blue$ . Pochodna tej funkcji wyniesie: $f'(x)=6x+4\blue$ . Teraz spróbujmy wrócić.

Korzystając z wzoru $\int{ax^{n}dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}\blue$

$\int{6x+4}dx=3x^2+4x+C\blue$ Jak widać nie wiadomo co wstawić jako stałą. Wcześniej było -7, a teraz musieliśmy napisać w sposób symboliczny C. Funkcja jest jednak taką samą funkcją dla C=-7.

Całki mają bardzo szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach: fizyce, chemii i wielu innych. Jedno z podstawowych zastosowań całki to liczenie pól powierzchni, długości łuków czy objętości kształtów nieregularnych czyli takich, które ciężko jest wyliczyć z podstawowych wzorów.

Popatrzmy na planszę z całką oznaczoną czyli taką, która jest określona między jakimiś dwoma argumentami. Całka oznaczona jest równa wartości między funkcją a osią OX w tym przedziale.

Całka oznaczona

Jak widać, aby policzyć powierzchnię między między funkcją a osią OX, należy policzyć całkę funkcji (F(x)), a następnie obliczyć różnicę tej funkcji pierwotnej dla argumentów, które ograniczają to pole.

Całka nieoznaczona

By mówić jednak o całce oznaczonej i obliczać pola powierzchni, musimy nauczyć się obliczać całki nieoznaczone. Wzorów jest bardzo dużo. Na poniższych planszach znajdziesz wszystkie najważniejsze. W planszy interaktwnej zmieniaj podstawę i wykładnik potęgi, by zobaczyć jak się zmienia wartość całki.

Całka nieoznaczona

Całki funkcji elementarnych, cz.1

Całki funkcji elementarnyh, cz.2

Całkowanie przez podstawienie

Jest to sposób całkowania, w którym podstawiamy zmienną za jakiś fragment naszego wyrażenia znajdującego się pod całką. Obliczamy ją posługując się zmienną i wracamy znowu do wcześniejszego wyrażenia. Poniżej kilka przykładów dotyczących podstawienia, które możesz oglądać krok po kroku.

Obliczanie całek metodą podstawiania

Całkowanie przez części

Metoda, w której trudno jest obliczyć zadaną całkę, a po zastosowaniu wzoru:

$\int uv'=uv-\int vu'\blue$ , gdzie u' i v' oznaczają pochodne funkcji u i v, obliczenie staje się dużo łatwiejsze. Obejrzyj kilka przykładów na poniższej planszy.

Obliczanie całek metodą całkowania przez części

Obliczanie pola pod funkcją

Na początek spróbujmy obliczyć pole pod funkcją liniową w określonych granicach. Obejrzyj poniższą planszę.

Całka oznaczona funkcji liniowej

A teraz trochę trudniejszy przykład - policzymy pole pod funkcją sinus w przedziale od zera do pi. Obejrzyj planszę krok po kroku.

A teraz pole trochę między dwoma funkcjami. Należy od pola pod jedną funkcją odjąć pole pod drugą funkcją. W praktyce od funkcji z wyższymi wartościami odejmujemy funkcję z niższymi. Obejrzyj przykład w zadaniu interaktywnym.

Jak już wspominaliśmy, całki można wykorzystywać do obliczenia wielu wartości np. pola powierzchni bocznej brył obrotowych. Obejrzyj planszę statyczną.