Home Strefa Ucznia Strefa Nauczyciela Strefa Otwarta Sklep Matematyczny



Materiały » Lekcje




Po co nam całki?

Autor

Dariusz Kulma

Całka, co to takiego?

Nie jest łatwo w kilku słowach zdefiniować całkę. Najprościej można powiedzieć, że jest to pojęcie odwrotne do liczenia pochodnych, Mówimy czasami o całce, że jest to funkcja pierwotna czyli, że jeśli najpierw z jakiejś funkcji policzymy pochodną, a potem obliczymy całkę, to powinniśmy uzyskać dokładnie to samo wyrażenie.

Sprawdźmy.

Weźmy wyrażenie f(x)=3x^2+4x-7\blue. Pochodna tej funkcji wyniesie: f'(x)=6x+4\blue. Teraz spróbujmy wrócić.

Korzystając z wzoru \int{ax^{n}dx=\frac{ax^{n+1}}{n+1}\blue

\int{6x+4}dx=3x^2+4x+C\blue  Jak widać nie wiadomo co wstawić jako stałą. Wcześniej było -7, a teraz musieliśmy napisać w sposób symboliczny C. Funkcja jest jednak taką samą funkcją dla C=-7.

Całki mają bardzo szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach: fizyce, chemii i wielu innych. Jedno z podstawowych zastosowań całki to liczenie pól powierzchni, długości łuków czy objętości kształtów nieregularnych czyli takich, które ciężko jest wyliczyć z podstawowych wzorów.

Popatrzmy na planszę z całką oznaczoną czyli taką, która jest określona między jakimiś dwoma argumentami. Całka oznaczona jest równa wartości między funkcją a osią OX w tym przedziale.

Całka oznaczona

Jak widać, aby policzyć powierzchnię między między funkcją a osią OX, należy policzyć całkę funkcji (F(x)), a następnie obliczyć różnicę tej funkcji pierwotnej dla argumentów, które ograniczają to pole.

Całka nieoznaczona

By mówić jednak o całce oznaczonej i obliczać pola powierzchni, musimy nauczyć się obliczać całki nieoznaczone. Wzorów jest bardzo dużo. Na poniższych planszach znajdziesz wszystkie najważniejsze. W planszy interaktwnej zmieniaj podstawę i wykładnik potęgi, by zobaczyć jak się zmienia wartość całki.

Całka nieoznaczona

Całka oznaczona.

Dariusz Kulma - Matematyka innego wymiaru, Utworzony z GeoGebra

Całki funkcji elementarnych, cz.1

Całki funkcji elementarnyh, cz.2

Całkowanie przez podstawienie

Jest to sposób całkowania, w którym podstawiamy zmienną za jakiś fragment naszego wyrażenia znajdującego się pod całką. Obliczamy ją posługując się zmienną i wracamy znowu do wcześniejszego wyrażenia. Poniżej kilka przykładów dotyczących podstawienia, które możesz oglądać krok po kroku.

Obliczanie całek metodą podstawiania

Całkowanie przez części

Metoda, w której trudno jest obliczyć zadaną całkę, a po zastosowaniu wzoru:

\int uv'=uv-\int vu'\blue , gdzie u' i v' oznaczają pochodne funkcji u i v, obliczenie staje się dużo łatwiejsze. Obejrzyj kilka przykładów na poniższej planszy.

Obliczanie całek metodą całkowania przez części

Obliczanie pola pod funkcją

Na początek spróbujmy obliczyć pole pod funkcją liniową w określonych granicach. Obejrzyj poniższą planszę.

 

Całka oznaczona funkcji liniowej

A teraz trochę trudniejszy przykład - policzymy pole pod funkcją sinus w przedziale od zera do pi. Obejrzyj planszę krok po kroku.

A teraz pole trochę między dwoma funkcjami. Należy od pola pod jedną funkcją odjąć pole pod drugą funkcją. W praktyce od funkcji z wyższymi wartościami odejmujemy funkcję z niższymi. Obejrzyj przykład w zadaniu interaktywnym.

Jak już wspominaliśmy, całki można wykorzystywać do obliczenia wielu wartości np. pola powierzchni bocznej brył obrotowych. Obejrzyj planszę statyczną.

 

Pole powierzchni bocznej bryły obrotowej

Zadania

Na koniec kilka zadań z portalu MIW.

Zadanie 995 - Pole zawarte między wykresem funkcji ...
Zadanie 1173 - Pochodna wyrażenia f(x)=x^x ...
Zadanie 1186 - Całka n \int{x^n}\;dx ...
Zadanie 1187 - Pole obszaru między parabolą y=x^2+x ...
Zadanie 1188 - Pole między prostą y=-x+2 ...
Zadanie 1189 - Wartość całki \int{\frac{a}{bx+d}\;dx ...
Zadanie 1190 - Wartość całki \int{e^{ex}}\;dx ...
Zadanie 1191 - Pole między osią Ox a funkcją sin x w ...
Zadanie 1192 - Pochodna całki ...
Zadanie 1193 - Wartość całki [tex]\int_{2p}^{2t}{ }\;cos\;x\;dx[/...
Zadanie 1194 - Funkcję homograficzną y=\frac{1}{x} ...
Zadanie 1197 - Wartość \int{ (3x^4+2x)\;dx} ...
Zadanie 1198 - Pole obszaru ograniczonego funkcjami ...








Adres
Mińsk Mazowiecki Pl. Kilińskiego 7
Kontakt
T. +48 51-81118-51
matematykainnegowymiaru@elitmat.pl
GG: 10158257